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因式分解的主要步骤是什么????

发布时间:2019-06-15 21:09 来源:未知 编辑:admin

  定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也作分解因式。 意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 [编辑本段]因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法,剩余定理法等。 [编辑本段]基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c); a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意:把2a*2+1/2变成2(a*2+1/4)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:a*2-b*2=(a+b)(a-b); 完全平方公式:a*2±2ab+b*2=(a±b)*2; 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式:a*3+b*3=(a+b)(a*2-ab+b*2); 立方差公式:a*3-b*3=(a-b)(a*2+ab+b*2); 完全立方公式:a*3±3a*2b+3ab*2±b*3=(a±b)*3. 其余公式请参看上边的图片。 例如:a*2 +4ab+4b*2 =(a+2b)*2(参看右图). [编辑本段]竞赛用到的方法 ⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。 比如: ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。 同样,这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题: 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法:=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。 2. x3-x2+x-1 解法:=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法:=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。 ⑷十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) . ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d). 图示如下: a b × c d 例如:因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3). 十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中 ⑸拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b). ⑹配方法 对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5). ⑺应用因式定理 对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a. 例如:f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3).) ⑻换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时,可以令y=x^2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y^2+3y+2-12=y^2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x^2+x+5)(x^2+x-2) =(x^2+x+5)(x+2)(x-1). 也可以参看右图。 ⑼求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) . 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0, 则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1. 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1). ⑽图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn). 与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。 例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6时,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6. 作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2). ⑾主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 ⑿特殊值法 将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则 x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105, 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 . 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值, 则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。 ⒀待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1, ac+b+d=-5, ad+bc=-6, bd=-4. 解得a=1,b=1,c=-2,d=-4. 则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4). 也可以参看右图。 ⒁双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。 例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12. 分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解: x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6). 双十字相乘法其步骤为: ①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y); ②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6); ③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。 [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。” 几道例题 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2. 解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(补项) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y). 2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33: x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5. 解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y). (分解因式的过程也可以参看右图。) 当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。 3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。 分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0, ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0. ∴(a-c)(a+2b+c)=0. ∵a、b、c是△ABC的三条边, ∴a+2b+c>0. ∴a-c=0, 即a=c,△ABC为等腰三角形。 4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1). [编辑本段]因式分解四个注意: 因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。 解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2) 这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误 例2把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1) 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的错误。 考试时应注意: 在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了 由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的。 因式分解不难,很简单

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  先考虑提取公因式,再看能否用乘法公式分解。 如果以上方法不能分解,可考虑用“十字相乘法”,或分组分解法。

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